问题
解答题
选修42：矩阵与变换
已经矩阵M＝．
(1)求直线4x－10y＝1在M作用下的方程；
(2)求M的特征值与特征向量．
答案
(1) 
．
(2)当λ1＝4时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝；
当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝．
本试题主要是考查了矩阵的运算，以及特征向量的求解和特征多项式的表示的综合运用。
（1）因为M＝．设直线
上任意一点
在作用下对应点
，则 ＝ ，
（2）因为矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，进而讨论得到特征向量。
(1)因为M＝． 设直线上任意一点在作用下对应点，则 ＝ ，………………………………………………………………２分
即
，所以，代入，得
，即，
所以所求曲线的方程为．……………………………………………………………4分
(2)矩阵M的特征多项式f(λ)＝＝(λ－4)(λ－5)＝0，
所以M的特征值为λ1＝4，λ2＝5． …………………………………………………………6分
当λ1＝4时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝；
当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝．…………………………………………10分