问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）在区间[1，e]（e为自然对数的底）上的最大值和最小值； （2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=
（3）求证：[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2 （n∈N*）． |
答案
（1）∵f′（x）=x+
，1 x
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[1，e]上为增函数、
∴f（x）max=f（e）=
e2，f（x）min=f（1）=-1 2
、1 2
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=
x2+lnx-1-1 2
x3，2 3
则F′（x）=x+
-2x2=1 x
=x2+1-2x3 x (1-x)(x+1+2x2) x
∵当x＞1，时F′（x）＜0，
∴函数F（x）在区间（1，+∞）上为减函数，
∴F（x）＜F（1）=
-1-1 2
＜0，2 3
即在（1，+∞）上，f（x）＜g（x）、
∴在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=
x3的图象的下方、2 3
（3）证明：∵f′（x）=x+
，当n=1时，不等式显然成立1 x
当n≥2时，利用基本不等式得：
[f′（x）]n-f′（xn）=（x+
）n-（xn+ 1 x
）≥2n-2（当且仅当x=1时“=”成立）1 xn
∴当n≥2时，不等式成立、
综上所述得[f′（x）]n-f′（xn）≥2n-2，（n∈N*）