设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）
（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），求g（x）的解析式；
（2）在（1）的结论下，是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由．
（3）设G（x）=f（x）+2-g（x）有两个零点x1和x2，且x1，x0x2成等差数列，试探究值G′（x0）的符号．
（1）由f（1）=g（1），得 b=1．
∵f′（x）=2x，g′(x)=+b，f′（1）=g′（1）
∴2=a+b，联立，解得a=b=1，
则g（x）=lnx+x．
（2）因f（x）与g（x）有一个公共点（1，1），而函数f（x）=x2在点（1，1）的切线方程为y=2x-1，
下面验证 f（x）≥2x-1，g（x）≤2x-1 都成立即可．
由x2-2x+1≥0，得x2≥2x-1，知f（x）≥2x-1恒成立．
设h（x）=lnx+x-（2x-1），即h（x）=lnx-x+1，h′(x)=-1=，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0．
∴h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，∴h（x）在x=1时取得最大值，
∴h（x）=lnx+x-（2x-1）的最大值为h（1）=0，所以lnx+x≤2x-1恒成立．
故存在这样的k和m，且k=2，m=-1，满足条件．
（3）G′（x0）的符号为正，理由为：
∵G（x）=x2+2-alnx-bx有两个不同的零点x1，x2，
则有 | | +2-alnx1-bx1=0 | | +2-alnx2-bx2=0 |
| |
，两式相减得x22-x12-a（lnx2-lnx1）-b（x2-x1）=0．
即x1+x2-b=，又x1+x2=2x0，
则G′（x0）=2x0--b=（x1+x2-b）-=-=[ln-]
=[ln-]，
①当0＜x1＜x2时，令=t，则t＞1，且G′（x0）=[lnt-]，
故μ（t）=lnt-（t＞1），μ′（t）=-=＞0，则μ（t）在[1，+∞）上为增函数，
而μ（1）=0，∴μ（t）＞0，即lnt-＞0，又a＞0，x2-x1＞0，∴G′（x0）＞0，
②当0＜x2＜x1时，同理可得：G′（x0）＞0，
综上所述：G′（x0）值的符号为正．
