f'（x）=

1

x-1

-k=0得x=1+

1

k

，

当k≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立，

当k＞0时，函数f（x）在（1，1+

1

k

）单调递增，在（1+

1

k

，+∞）单调递减，

当x=1+

1

k

时，f（x）取最大值，f（1+

1

k

）=ln

1

k

≤0

∴k≥1．

故实数k的取值范围是k≥1．

故答案为：k≥1．