问题 填空题

已知函数f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1,若f(x)≤0恒成立,则实数k的取值范围为______.

答案

f'(x)=

1
x-1
-k=0得x=1+
1
k

当k≤0时,f′(x)>0,函数f(x)在定义域内单调递增,f(x)≤0不恒成立,

当k>0时,函数f(x)在(1,1+

1
k
)单调递增,在(1+
1
k
,+∞)单调递减,

当x=1+

1
k
时,f(x)取最大值,f(1+
1
k
)=ln
1
k
≤0

∴k≥1.

故实数k的取值范围是k≥1.

故答案为:k≥1.

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