问题
解答题
已知二阶矩阵A有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e1=
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答案
设矩阵A=
，这里a，b，c，d∈R，ab cd
因为
是矩阵A的属于λ1=1的特征向量，则有1 1 1-a-b -c1-d
=1 1
①，0 0
又因为
是矩阵A的属于λ2=2的特征向量，则有1 0 2-a-b -c1-d
=1 0
②，0 0
根据①②，则有
从而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此A=1-a-b=0 -c+1-d=0 2-a=0 -c=0
，（6分）2-1 01
根据题意
， 1 1
分别是矩阵A-1属于特征值1，1 0
的特征向量，1 2
不妨设A-1=
，则有ef gh ef gh
=2-1 01
=-2e-e+f 2g-g+h
，10 01
则得
从而e=1-e-f=0 -g+1-h=0
-e=0 1 2 -g=0
，f=1 2
，g=0 ，h=1，因此A-1=1 2
．（10分）1 2 1 2 01