问题
解答题
设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
答案
（Ⅰ）由条件得矩阵
（Ⅱ）
是矩阵M属于特征值
的一个特征向量，
是矩阵M属于特征值
的一个特征向量．
(1)易求.
(2)由矩阵M，可知其特征多项式为
,然后利用
,可解出
的特征值，有两个值，然后分别求其特征向量即可
（Ⅱ）因为矩阵的特征多项式为，
令，解得特征值为，，
设属于特征值
的矩阵M的一个特征向量为
，则
，解得
，取
，得， 同理，对于特征值
，解得
，取
，得， 6分
所以是矩阵M属于特征值的一个特征向量，是矩阵M属于特征值 的一个特征向量．