问题
解答题
| 已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）． （1）求函数f（x）的最小值； （2）若n∈N*，证明：(
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答案
（1）∵f（x）=ex-x，∴f'（x）=ex-1，令f'（x）=0，得x=0．
∴当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0．∴函数f（x）=ex-x在区间（-∞，0）上单调递减，
在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，f（x）有最小值1．
（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有ex-x≥1，即1+x≤ex．令x=-
（n∈N*，k=1，2，，n-1），k n
则 0＜1-
≤e-k n
，∴(1-k n
)n≤(e- k n
)n=e-k(k=1，2，，n-1)．k n
即(
)n≤e-k(k=1，2，，n-1)．∵(n-k n
)n=1，n n
∴(
)n+(1 n
)n+…+(2 n
)n+(n-1 n
)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+… ．+e-2+e-1+1．n n
∵e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=
＜1-e-n 1-e-1
=1 1-e-1
，e e-1
∴(
)n+(1 n
)n+…+(2 n
)n+(n-1 n
)n＜n n
．e e-1
的化合物均为蛋白质