（1）定义域为（0，+∞），

①当a≤0时，函数在定义域上单调增函数；

②当a＞0时，f′（x）=-

a

x2

+

1

x

，当x＞a时，f′（x）＞0，函数单调递增，增区间为（a，+∞）；当0＜x＜a时，f′（x）＜0，函数单调递减，单调减区间为（0，a）；

（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，⇔a≥[-xlnx+x]_max，x∈（0，1]，

令g（x）=-xlnx+x，x∈（0，1]，g′(x)=-lnx-x•

1

x

+1=-lnx≥0(x∈(0，1])，

∴g（x）在x∈（0，1]上单增，

∴g（x）_max=g（1）=1，

∴a≥1，

故a的取值范围为[1，+∞）．

（3）存在，如b=0等．下面证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞lnn，(n≥2，n∈N+)

及

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)，(n≥2，n∈N+)成立．

①先证1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞lnn，(n∈N+)，注意lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

，

这只要证

1

k-1

＞ln

k

k-1

=ln(1+

1

k-1

)，(k=2，3，…n)（*）即可，

x＞ln（1+x）对x＞0恒成立，取x=

1

k-1

(k≥2)即可得上式成立．

让k=2，3，…，n分别代入（*）式再相加即证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞lnn，(n∈N+)，

于是1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

＞1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

＞lnn，(n∈N+)．

②再证

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln(n+1)，(n≥2，n∈N+)，

∵

n-1

n3

＜

n-1

n3-1

=

n-1

(n-1)(n2+n+1)

=

1

n2+n+1

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，(n≥2)，

∴

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

1

2

-

1

n+1

＜

1

2

，

又∵n≥2，ln(n+1)≥ln3＞ln

e

=

1

2

，故不等式成立．