问题
解答题
已知函数f(x)=ln(ex+1)-
（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断函数的奇偶性； （Ⅱ）若不等式f（x2+2）≤f（2ax-a）的解集是A={x|x2-5x+4≤0}的子集，求实数a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）f′(x)=
-ex ex+1
=1 2
，ex-1 2(ex+1)
当x∈[0，+∞）时，f′（x）≥0
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，在（-∞，0）上是单调减函数
由f(x)-f(-x)=ln
-x=lnex-x=0∴f（x）为R上的偶函数ex+1 e-x+1
（Ⅱ）由x2+2＞0，f（2ax-a）=f（|2ax-a|）
从而不等式等价于：x2+2≤|a||2x-1|
又不等式x2-5x+4≤0的解集为A=[1，4]的子集，
故1≤x≤4，∴2x-1＞0
即x2+2-2|a|x+|a|≤0
10当△＜0时，不等式的解集为空集，满足条件，即|a|∈（-1，2）⇒|a|＜2成立；
20当△=0时，|a|=2，此时x2-4x+4≤0⇒x=2∈A成立；
30当△＞0时，|a|＞2，
设方程x2+2-2|a|x+|a|=0的两根为x1，x2，则
⇒2＜|a|≤f(1)≥0 f(4)≥0 1＜|a|＜4 |a|＞2 18 7
综上，|a|≤
⇒a∈[-18 7
，18 7
]18 7