问题
填空题
已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是______．
答案
∵点A在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，
∴点S在底面ABC上的射影O为△ABC的垂心；又△ABC为正三角形，
∴O为△ABC的中心，即三棱锥S-ABC为正三棱锥．记SO=h（h＜a），则AO=
，a2-h2
于是有：AB=
，记三棱锥S-ABC体积为f（h），3(a2-h2)
则f（h）=
(a2-h2)h，f/（h）=3 4
(a2-3h2)，3 4
∴fmax（h）=f(
a)=3 3
．a3 6
故答案为：a3 6