问题
解答题
设函数f(x)=
（Ⅰ） 当a=1时，求函数f（x）的极值； （Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性． （Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x1，x2∈[1，2]，恒有
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答案
（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
当a=1时，f（x）=x-lnx，则f′（x）=x-1 x
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1时，函数f（x）取得极小值为1；
（Ⅱ）f′（x）=(1-a)(x-
)(x-1)1 a-1 x
当
=1，即a=2时，f′(x)=-1 a-1
≤0，f（x）在（0，+∞）上是减函数；(x-1)2 x
当
＜1，即a＞2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1 a-1
或x＞1；令f′（x）＞0，得1 a-1
＜x＜11 a-1
当
＞1，即1＜a＜2时，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞1 a-1
；令f′（x）＞0，得1＜x＜1 a-1 1 a-1
综上，当a=2时，f（x）在定义域上是减函数；
当a＞2时，f（x）在（0，
）和（1，+∞）上单调递减，在（1 a-1
，1）上单调递增；1 a-1
当1＜a＜2时，f（x）在（0，1）和（
，+∞）上单调递减，在（1，1 a-1
）上单调递增；1 a-1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a∈（3，4）时，f（x）在[1，2]上单调递减
∴当x=1时，f（x）有最大值，当x=2时，f（x）有最小值
∴|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(2)=
-a 2
+ln23 2
∴对任意a∈（3，4），恒有
m+ln2＞(a2-1) 2
-a 2
+ln23 2
∴m＞a-3 a2-1
构造函数g(a)=
，则g′(a)=a-3 a2-1 -(a-3)2+8 (a2-1)2
∵a∈（3，4），∴g′(a)=
＞0-(a-3)2+8 (a2-1)2
∴函数g(a)=
在（3，4）上单调增a-3 a2-1
∴g（a）∈（0，
）1 15
∴m≥
．1 15