问题
解答题
已知x＞
（Ⅰ）求证：f（x）≥h（x）； （Ⅱ）若f（x）≥h（x）且g（x）≤h（x）恒成立，则称函数h（x）的图象为函数f（x），g（x）的“边界”．已知函数g（x）=-4x2+px+q（p，q∈R），试判断“函数f（x），g（x）以函数h（x）的图象为边界”和“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由． |
答案
（I）证明：记u（x）=f（x）-h（x）=x2-2elnx，
则u′(x)=2x-
，2e x
令u'（x）＞0，注意到x＞
，可得x＞1 2
，e
所以函数u（x）在(
，1 2
)上单调递减，在(e
，+∞)上单调递增．u(x)min=u(e
)=f(e
)-h(e
)=e-e=0，即u（x）≥0，e
∴f（x）≥h（x）．
（II）由（I）知，f（x）≥h（x）对x＞
恒成立，当且仅当x=1 2
时等号成立，e
记v（x）=h（x）-g（x）=2elnx+4x2-px-q，则
“v（x）≥0恒成立”与“函数f（x），g（x）的图象有且仅有一个公共点”同时成立，
即v（x）≥0对x＞
恒成立，当且仅当x=1 2
时等号成立，e
所以函数v（x）在x=
时取极小值，e
注意到v′(x)=
+8x-p=2e x
，8x2-px+2e x
由v′(
)=0，解得p=10e
，e
此时v′(x)=
，8(x-
)(x-e
)e 2 x
由x＞
知，函数v（x）在(1 2
，1 2
)上单调递减，在(e
，+∞)上单调递增，e
即v(x)min=v(
)=h(e
)-g(e
)=-5e-q=0，q=-5e，e
综上，两个条件能同时成立，此时p=10
，q=-5e．e