问题 解答题
已知f(x)=lnx,g(x)=
3
2
-
a
x
,(a∈R)

①若方程e2f(x)=g(x)在区间[
1
2
,1]
上有解,求a的取值范围;
②若函数h(x)=
1
2
x2-ax+(a-1)f(x)(a≥1)
,讨论函数h(x)的单调性.
答案

①由由已知,x2=

3
2
-
a
x
x∈[
1
2
,1]
上有解,
a
x
=
3
2
-x2
x∈[
1
2
,1]
上有解

a=

3
2
x-x3x∈[
1
2
,1]
上有解,

p(x)=

3
2
x-x3x∈[
1
2
,1]
则 p′(x)=
3
2
-3x2=-3(x+
2
2
)(x-
2
2
)

∴函数p(x)在(

1
2
2
2
)上单调递增,在(
2
2
,1)上单调递减

p(x)max=p(

2
2
)=
2
2

p(

1
2
)=
5
8
,p(1)=
1
2
,∴p(x)min=p(1)=
1
2

a∈[

1
2
2
2
]…(6分)

h′(x)=

[x-(a-1)](x-1)
x
,x∈(0,+∞)

(1)a=1时,递减区间(0,1),递增区间(1,+∞);

(2)1<a<2时,递增区间(0,a-1),(1,+∞),递减区间(a-1,1);

(3)a=2时,递增区间(0,+∞);

(4)a>2时,递增区间(0,1),

 (a-1,+∞)
,递减区间 (1,a-1)…(13分)

单项选择题
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