问题
解答题
设函数f（x）=
（I）如果存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； （II）如果对于任意的s、t∈[
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答案
（I）存在x1、x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立等价于g（x）max-g（x）min≥M
∵g（x）=x3-x2-3，∴g′(x)=3x(x-
)2 3
∴g（x）在（0，
）上单调递减，在（2 3
，2）上单调递增2 3
∴g（x）min=g（
）=-2 3
，g（x）max=g（2）=185 27
∴g（x）max-g（x）min=112 27
∴满足的最大整数M为4；
（II）对于任意的s、t∈[
，2]，都有f（s）≥g（t）成立等价于f（x）≥g（x）max．1 2
由（I）知，在[
，2]上，g（x）max=g（2）=11 2
∴在[
，2]上，f（x）=1 2
+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x-x2lnx恒成立a x
记h（x）=x-x2lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x且h′（1）=0
∴当
＜x＜1时，h′（x）＞0；当1＜x＜2时，h′（x）＜01 2
∴函数h（x）在（
，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，1 2
∴h（x）max=h（1）=1
∴a≥1