| （Ⅰ）已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值； （Ⅱ）设a1，b1（k=1，2…，n）均为正数，证明： （1）若a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn，则a1b1a2b2…anbn≤1； （2）若b1+b2+…bn=1，则
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（I）f（x）的定义域为（0，+∞），
令f′（x）=
-1=0，解得x=1，1 x
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数；
故函数f（x）在x=1处取得最大值f（1）=0；
（II）（1）由（I）知，当x∈（0，+∞）时，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x-1，
∵ak，bk（k=1，2…，n）均为正数，从而有lnak≤ak-1，
得bklnak≤akbk-bk（k=1，2…，n），
求和得
+ln b1a1
+ln b2a2
+…+ln b3a3
≤a1b1+a2b2+…+anbn-（b1+b2+…+bn）ln bnan
∵a1b1+a2b2+…anbn≤b1+b2+…bn，
∴
+ln b1a1
+ln b2a2
+…+ln b3a3
≤0，即ln(a1b1a2b2… anbn)≤0，ln bnan
∴a1b1a2b2…anbn≤1；
（2）先证
≤b1b1b2b2…bnbn，1 n
令ak=
（k=1，2…，n），则a1b1+a2b2+…+anbn=1=b1+b2+…bn，1 nbk
于是由（1）得(
)b1(1 nb1
)b2…(1 nb2
)bn≤1，即1 nbn
≤nb1+b2+…bn=n，1 b1b1b2b2…bnbn
∴
≤b1b1b2b2…bnbn，1 n
②再证b1b1b2b2…bnbn≤b12+b22+…+bn2，
记s=b12+b22+…+bn2．令ak=
（k=1，2…，n），bk s
则a1b1+a2b2+…+anbn=
（b12+b22+…+bn2）=1=b1+b2+…bn，1 s
于是由（1）得(
)b1(1 sb1
)b2…(1 sb2
)bn≤1，1 sbn
即b1b1b2b2…bnbn≤sb1+b2+…bn=s，
∴b1b1b2b2…bnbn≤b12+b22+…+bn2，
综合①②，（2）得证．