（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），由题意k=f′（x₀）=

x0-a

x 20

≤

1

2

在（0，+∞）上恒成立．，所以a≥（-

1

2

x

20

+x0）max，当x0=1时，

（-

1

2

x

20

+x0）max=

1

2

，∴a≥

1

2

（Ⅱ）当a=0时，F（x）=f（1+e^x）-g（x）=ln（1+e^x）-x，（x∈R），设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，

则F(x1)+F(x2)-2F(

x1+x2

2

)=ln（1+e^x₁）+ln（1+e^x₂）-x₁-x₂-2[ln（1+e

x1+x2

2

）-

x1+x2

2

]

=ln（1+e^x₁）（1+e^x₂）-ln（1+e

x1+x2

2

）²

=ln（1+e^x₁+e^x₂₊ex1+x2）-ln（1+2e

x1+x2

2

+e^x₁+x₂），

∵e^x₁＞0，e^x₂＞0，且x₁≠x₂，∴+e^x₁+e^x₂＞2

ex1+x2

=2e

x1+x2

2

，

1+e^x₁+e^x₂₊ex1+x2）＞1+2e

x1+x2

2

+e^x₁+x₂），

ln（1+e^x₁+e^x₂₊ex1+x2）＞ln（1+2e

x1+x2

2

+e^x₁+x₂），

∴F(x1)+F(x2)-2F(

x1+x2

2

)＞0

即F(

x1+x2

2

)＜

F(x1)+F(x2)

2

；

（Ⅲ）当a=0时，方程m[f（x）+g（x）]=

1

2

x2（m＞0）有唯一解，即为x²-2mlnx-2mx=0有唯一解，

设（x）=x²-2mlnx-2mx，则H′（x）=

2x2-2mx-2m

x

，令H′（x）=0，则x²-mx-m=0，m＞0，x＞0，∴x1=

m- m2+4m

2

＜0（舍去），x2=

m+ m2+4m

2

，

当x∈（0，x₂）时，H′（x）＜0，H（x）在（0，x₂）上单调递减

当x∈（x₂，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）在（x₂，+∞）上单调递增．

当x=x₂时，H（x）取最小值H（x₂），则

H(x2)=0 H′(x2)=0

即

x 22 -2mlnx2-2mx2=0 x 22 -mx2-m=0

两式相减得2mlnx₂+mx₂-m=0，∵m＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0①，

设M（x）=2lnx+x-1，∵x＞0，M（x）是增函数，∴M（x）=0至多有一解．∵M（1）=0，∴方程①的解为x₂=1，

即x2=

m+ m2+4m

2

=1，解得m=

1

2

．