问题
解答题
| 已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），其中a、b∈R （I）当a=0，b=3时，求函数，f（x）的极值； （Ⅱ）当a=0时，
（Ⅲ）若0＜a＜b，点A（s，f（s）），B（t，f（t））分别是函数f（x）的两个极值点，且0A⊥OB，其中0为原点，求a+b的取值范围． |
答案
（I）当a=0，b=3时，f（x）=x3-3x2
∴f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2，令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴x=0时，函数取得极大值为0，x=2时，函数取得极小值为-4；
（Ⅱ）当a=0时，
-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，f(x) x2
∴b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x-lnx，则g′(x)=x-1 x
∵x＞1，∴g′(x)=
＞0x-1 x
∴g（x）在[1，+∞）上是增函数
∴g（x）min=g（1）=1
∴b≤1；
（Ⅲ）由题意，
•OA
=0，∴st+f（s）f（t）=0OB
∴st+st（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=0①
∴f′（x）=3x2-2（a+b）x+ab
∵s，t是f′（x）=0的两根
∴s+t=
，st=2(a+b) 3
＞0ab 3
∴①可化为（
a2-1 3
）（ab 3
b2-1 3
）=-1ab 3
∴ab（a-b）2=9
∴(a-b)2=9 ab
∴(a-b)2=9 ab
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=
+4ab≥129 ab
当且仅当
=4ab，即ab=9 ab
时取“=”3 2
∴a+b的取值范围是[2
，+∞）．3