已知函数f（x）=alnx+x2 （a为实常数），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若存在x∈[1，e]，使得不等式f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．
（1）f′(x)=
(x＞0)，当[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．2x2+a x
①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．
②若-2e2＜a＜-2，当x=
时，f′（x）=0；当1≤x＜-a 2
时，f′（x）＜0，此时f（x）-a 2
是减函数；当
＜x≤e时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故[f(x)]min=f(-a 2
)=-a 2
ln(-a 2
)-a 2
．a 2
③若a≤-2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e2，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．
综上可知，[f(x)]min=1(a≥-2)
ln(-a 2
)-a 2
(-2e2＜a＜-2)a 2 a+e2(a≤-2e2)
（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x2-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥
(x∈[1，e])x2-2x x-lnx
令g(x)=
(x∈[1，e])，又g′(x)=x2-2x x-lnx
，(x-1)(x+2-2lnx) (x-lnx)2
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最大值为g（e）=
，所以a的取值范围是[e2-2e e-1
，+∞）．e2-2e e-1