若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a+b＞c．

∵b＜c，

∴b＜c＜a+b，

又∵c-b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，

∴1＜a≤5，

∴a=2，3，4，5．

当a=2时，5＜c＜7，此时，c=6；

当a=3时，5＜c＜8，此时，c=6，7；

当a=4时，5＜c＜9，此时，c=6，7，8；

当a=5时，5＜c＜10，此时，c=6，7，8，9；

∴一共有1+2+3+4=10个．

故答案为：10．