（1）∵f'（x）=2x+b，且f（0）=c，则f（x）=x²+bx+c，∴g(x)=

x

f(x)

=

x

x2+bx+c

，

∵g（x）为奇函数，∴g（-x）=-g（x）恒成立，∴b=0，g(x)=

x

x2+c

=

1

x+ c x

∵g（0）=0且x+

c

x

∈(-∞，-2

c

]∪[2

c

，+∞)，∴g(x)∈[-

1

2 c

，

1

2 c

]，

由

1

2 c

=

1

2

得c=1

（2）F(x)=x2+bx+2=(x+

b

2

)2+2-

b2

4

当-

b

2

＞1，即b＜-2时F（x）_min=F（1）=3+b=2得b=-1舍去

当-

b

2

＜-1，即b＞2时F（x）_min=F（-1）=3-b=2得b=1舍去-1≤-

b

2

≤1即-2≤b≤2F(x)min=F(-

b

2

)=2-

b2

4

=2，得b=0满足条件

∴f（x）=x²+c，由f（x）=x²+c=0得c=-x²，∵x∈[-1，1]，∴-x²∈[-1，0]

∵f（x）=x²+c=0的区间[-1，1]上有解，c的取值范围为[-1，0]