问题
解答题
函数f（x）的导函数f'（x）=2x+b，且f（0）=c，g(x)=
（1）若c＞0，g（x）为奇函数，且g（x）的最大值为
（2）若函数F（x）=f（x）+2-c定义域为[-1，1]，且F（x）的最小值为2，当函数f（x）在区间[-1，1]上有零点，求实数c的取值范围． |
答案
（1）∵f'（x）=2x+b，且f（0）=c，则f（x）=x2+bx+c，∴g(x)=
=x f(x)
，x x2+bx+c
∵g（x）为奇函数，∴g（-x）=-g（x）恒成立，∴b=0，g(x)=
=x x2+c 1 x+ c x
∵g（0）=0且x+
∈(-∞，-2c x
]∪[2c
，+∞)，∴g(x)∈[-c
，1 2 c
]，1 2 c
由
=1 2 c
得c=11 2
（2）F(x)=x2+bx+2=(x+
)2+2-b 2 b2 4
当-
＞1，即b＜-2时F（x）min=F（1）=3+b=2得b=-1舍去b 2
当-
＜-1，即b＞2时F（x）min=F（-1）=3-b=2得b=1舍去-1≤-b 2
≤1即-2≤b≤2F(x)min=F(-b 2
)=2-b 2
=2，得b=0满足条件b2 4
∴f（x）=x2+c，由f（x）=x2+c=0得c=-x2，∵x∈[-1，1]，∴-x2∈[-1，0]
∵f（x）=x2+c=0的区间[-1，1]上有解，c的取值范围为[-1，0]