问题 解答题
设函数fn(x)=-xn+3ax+b(n∈N*,a,b∈R).
(1)若a=b=1,求f3(x)在[0,2]上的最大值和最小值;
(2)若对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f3(x1)-f3(x2)|≤1,求a的取值范围;
(3)若|f4(x)|在[-1,1]上的最大值为
1
2
,求a,b的值.
答案

(1)由fn(x)=-xn+3ax+b,所以当a=b=1时,f3(x)=-x3+3x+1

f′3
(x)=-3x2+3=-3(x2-1).

在(0,1)内,

f′3
(x)>0,在(1,2)内,
f′3
(x)<0

所以在(0,1)内,f3(x)=-x3+3x+1为增函数,在(1,2)内f3(x)=-x3+3x+1为减函数.

则f3(x)的极大值为f3(1)=3,由f3(0)=1,f3(2)=-23+3×2+1=-1

所以函数f3(x)=-x3+3x+1在[0,2]上的最大值为f3(1)=3,最小值为f3(2)=-1;

(2)因为对任意x1,x2∈[-1,1],都有|f3(x1)-f3(x2)|≤1,

所以|f3(1)-f3(-1)|≤1,从而有|(-1+3a+b)-(1-3a+b)|=|6a-2|≤1,

所以

1
6
≤a≤
1
2

f′3
(x)=-3x2+3a=-3(x2-a),

[-1,-

a
],[
a
,1]内f3(x)0,

所以f3(x)在[-1,-

a
],[
a
,1]内为减函数,

f3(x)在[-

a
a
]内为增函数,

只需|f3(

a
)-f3(-
a
)|≤1,则|(-(
a
)3+3a
a
+b)-((
a
)3-3a
a
+b)|≤1

4a

a
≤1,解得:a≤
1
316

所以a的取值范围是

1
6
≤a≤
1
316

(3)f4(x)=-x4+3ax+b

由f4(x)在[-1,1]上的最大值为

1
2
,则|f4(x)|≤
1
2

所以-

1
2
f4(1)≤
1
2
,即-
1
2
≤-1+3a+b≤
1
2

-

1
2
f4(-1)≤
1
2
,即-
1
2
≤-1-3a+b≤
1
2

①+②得,

1
2
≤b≤
3
2
,又因为-
1
2
f4(0)≤
1
2
,所以-
1
2
≤b≤
1
2
,所以b=
1
2

b=

1
2
代入①得:0≤a≤
1
3

b=

1
2
代入②得:-
1
6
≤a≤0.

所以a=0.

综上知a,b的值分别为0,

1
2

单项选择题
问答题 案例分析题

某水闸共2孔,每孔净宽10.0m,闸室采用钢筋混凝土框架结构,底板厚1.8m,顶高程31.3m;闸室总宽23.2m,顺水流长16.0m;闸室及翼墙底板基础采用水泥土搅拌桩处理。其主要工程内容有:地基与基础;闸室段;上游连接段;下游连接段;交通桥;金属结构及启闭机安装;工作桥排架启闭机房等。项目划分共划分为1个单位工程,8个分部工程。施工过程中发生如下事件:事件1:项目法人在主体工程完工后,组织监理、设计、施工等单位,根据工程特点(工程等级及使用情况)和相关技术标准,提出了《水利水电工程施工质量检验与评定规程》表A.2.1所列各项目的外观质量标准,报工程质量监督机构核备。事件2:单位工程完工后,监理单位及时组织相关单位组成工程外观质量评定组,现场进行外观质量检验评定,并将评定结论报工程质量监督机构核备。事件3:本工程完工后,及时进行了单位工程质量评定,其中:(1)所含分部工程质量全部合格,其中70%以上达到优良等级,主要分部工程质量全部优良,且施工中未发生过较大质量事故;(2)质量事故已按要求进行处理;(3)外观质量得分率为80%;(4)单位工程施工质量检验与评定资料齐全;(5)工程施工期及试运行期,单位工程观测资料分析结果符合国家和行业技术标准以及合同约定的标准要求。因此,本单位工程质量评定为优良。事件4:单位工程完工后,及时进行了外观质量评定,评定结果如下:

1.指出事件1、2、3中的不要之处,并说明理由。 2.外观质量评分有哪些单位参加,人员数量有何要求? 3.事件4中,轮廓线检测项目测点合格率为95%,计算本项得分;计算总得分率。