问题 解答题
某工厂有一个容量为300吨的水塔,每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水,已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水量W(吨)与时间t(小时,且规定早上6时t=0)的函数关系为W=100
3t
.水塔的进水量分为10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在开始供水的同时打开进水管,问进水量选择为第几级时,既能保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出?
答案

设进水量选第x级,则t小时后水塔中水的剩余量为:

y=100+10xt-10t-100

3t
,且0≤t≤16.

根据题意0<y≤300,∴0<100+10xt-10t-100

3t
≤300.

当t=0时,结论成立.

当t>0时,由左边得x>1+10(

1
3t2
-
1
t

令m=

1
3t
,由0<t≤16,m≥
34
4

记f(t)=1+10(

1
3t2
-
1
t
)=1+10m2-10m3,(m≥
34
4
),

则f′(t)=20m-30 m 2=0得m=0或m=

2
3

∵当

34
4
≤m<
2
3
时,f′(t)>0;当m>
2
3
时,f′(t)<0,

∴所以m=

2
3
时(此时t=
27
8
),f(t)最大值=1+10(
2
3
2-10(
2
3
3=
67
27
≈2.48.

当t=

27
8
时,1+10(
1
3t2
-
1
t
)有最大值2.48.∴x>2.48,即x≥3.

由右边得x≤

20
t
+
10
3t2
+1,

当t=16时,

20
t
+
10
3t2
+1取最小值
20
16
+
10
3162
+1=
9
4
+
5
32
4
∈(3,4).

即x≤3.

综合上述,进水量应选为第3级.

填空题
单项选择题