问题
解答题
已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，x∈R
（1）已知任意三次函数的图象为中心对称图形，若本题中的函数f（x）图象以P（2，m）为对称中心，求实数a和m的值
（2）若|a|＞1，求函数f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值．
答案
（1）解法一：由函数f（x）图象以P（2，m）为对称中心，
则f（1）+f（3）=2f（2），代入计算得：3a-1+27-9a=8，∴a=3，
故f（x）=2x3-12x2+18x，
则m=f（2）=16-48+36=4
解法二：由f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，∴f'（x）=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a），
则a+12=2，则a=3，故f（x）=2x3-12x2+18x，
则m=f（2）=16-48+36=4
（2）由f'（x）=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-a）（x-1），
因为|a|＞1，∴a＜-1或a＞1，讨论：
1．若a＜-1，如下表：
| x | （0，1） | 1 | （1，2|a|） |
| f'（x） | - | 0 | + |
| f（x） | ↘ | 3a-1 | ↗ |
若a＞1时，如下表：
| x | （0，1） | 1 | （1，a） | a | （a，2|a|） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↗ | 3a-1 | ↘ | 3a2-a3 | ↗ |
i）当1＜a≤3时，f（a）≥f（0），则fmin（x）=f（0）=0；
ii）当a＞3时，f（a）＜f（0），则fmin（x）=f（a）=3a2-a3；
综上所述：fmin（x）=
．3a-1，(a＜-1) 0，(1＜a≤3) 3a2-a3，(a＞3)