已知函数fn(x)=
（Ⅰ）求Sn； （Ⅱ）若对任意的n∈N*，总存在x∈R+使
（Ⅲ）比较
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（Ⅰ）fn′(x)=
，（2分）-ln(x+n)+n+1 (x+n)2
令fn′（x）＞0，则x＜en+1-n．
∴fn（x）在（-n，en+1-n）上递增，在（en+1-n，+∞）上递减．（4分）
∴当x=en+1-n时，fn(x)max=fn(en+1-n)=
+1 en+1
（5分）1 n(n+1)
即an=
+1 en+1
，1 n(n+1)
则Sn=
+en-1 en+2-en+1
．（6分）n n+1
（Ⅱ）∵n≥1，∴en+1递增，n（n+1）递增，
∴an=
+1 en+1
递减．1 n(n+1)
∴0＜an≤a1=
+1 e2
，1 2
即an∈(0，
+1 e2
]（8分）1 2
令g(x)=
+a，则g′(x)=x ex-1
，1-x ex-1
∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
当x→0时，
→0；x ex-1
当x→+∞时，
＞0；x ex-1
又g（1）=1+a，
∴g（x）∈（a，1+a]（10分）
由已知得，（a，1+a]⊇(0，
+1 e2
]，1 2
∴
∴a≤0
+1 e2
≤1+a1 2
-1 e2
≤a≤0（11分）1 2
（Ⅲ）
+fn(en)-an1 en+1+e•n
=
+1 en+1+e•n
+ln(en+n)-n en+n
-1 n(n+1)
-1 en+1 1 n(n+1)
=
+1 e(en+n)
ln1 en+n
-en+n en 1 en+1
=
(1 en+n
+ln1 e
-en+n en 1 e
)（12分）en+n en
令t=
，en+n en
∵g(x)=
(x≥1)，g′(x)=ex+x ex
≤0∴g(x)在[1，+∞）上递减．1-x ex
∴1＜g(x)≤1+
，1 e
即t∈(1，1+
]（13分）1 e
又r(t)=
+lnt-1 e
t，r′(t)=1 e
-1 t
＞0∴r(t)＞r(1)=0（14分）1 e
∴
(1 en+n
+ln1 e
-en+n en 1 e
)＞0en+n en
∴
+fn(en)＞an（15分）1 en+1+e•n