已知定义在[-3,3]上的函数 y=tx-
(1)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值及取得最小值时的x; (2)当t≥6时,证明函数y=f(x)的图象上至少有一点在直线y=8上. |
(1)f'(x)=t-
x2,令f′(x)=0得x=±3 2 2t 3
∵2≤t≤6∴
∈[2t 3
,2]4 3
x | (-3,-
| -
| (-
|
| (
| ||||||||||||||||||||||||
f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | ||||||||||||||||||||||||
f(x) | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
|
|
当
<2即2<t<6时,f(x)在(-2,-
2t 3
)减,在(-
2t 3
,0)上增
2t 3
∴f(x)在[-2,0]上最小值为f(x)min=f(-
)=-(
2t 3
)
2t 3
,此时x=-3 2
=-2t 3 6t 3
(2)由(1)可知f(x)在(-
,
2t 3
)上增,
2t 3
当
≥3即t≥
2t 3
时,f(x)在[-3,3]上最大值为f(3)=3t-27 2
≥27 2
-81 2
=27>827 2
当
<3即6≤t<
2t 3
时,f(x)在[0,3]上最大值为,f(27 2
)=t2t 3
-2t 3
(1 2
)3=(2t 3
)2t 3
≥(3 2
)2×6 3
=83 2
又f(0)=0,
∴y=f(x)的图象上至少有一点在直线y=8上