问题 解答题
已知定义在[-3,3]上的函数 y=tx-
1
2
x3
,(t为常数).
(1)当t∈[2,6]时,求f(x)在[-2,0]上的最小值及取得最小值时的x;
(2)当t≥6时,证明函数y=f(x)的图象上至少有一点在直线y=8上.
答案

(1)f'(x)=t-

3
2
x2,令f′(x)=0得x=±
2t
3

∵2≤t≤6∴

2t
3
∈[
4
3
,2]

x(-3,-
2t
3
)
-
2t
3
(-
2t
3
2t
3
)
2t
3
(
2t
3
,3)
f'(x)-0+0-
f(x)极小值极大值
2t
3
=2
时,即t=6时,f(x)在[-
2t
3
,0]
上是增函数,

2t
3
<2即2<t<6时,f(x)在(-2,-
2t
3
)
减,在(-
2t
3
,0)
上增

∴f(x)在[-2,0]上最小值为f(x)min=f(-

2t
3
)=-(
2t
3
)
3
2
,此时x=-
2t
3
=-
6t
3

(2)由(1)可知f(x)在(-

2t
3
2t
3
)上增,

2t
3
≥3即t≥
27
2
时,f(x)在[-3,3]上最大值为f(3)=3t-
27
2
81
2
-
27
2
=27>8

2t
3
<3即6≤t<
27
2
时,f(x)在[0,3]上最大值为,f(
2t
3
)=t
2t
3
-
1
2
(
2t
3
)3=(
2t
3
)
3
2
≥(
2×6
3
)
3
2
=8

又f(0)=0,

∴y=f(x)的图象上至少有一点在直线y=8上

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