（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x-lnx，x∈（0，+∞）

∵f′（x）=1-

1

x

，令f'（x）=0得x=1

∵当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，∴函数f（x）在（0，1）上为减函数

∵当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，∴函数f（x）在（1，+∞）上为增函数

∴当x=1时，函数f（x）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=1

（Ⅱ）∵f′（x）=a-

1

x

，

若a≤0，则对任意的x∈[1，+∞）都有f'（x）＜0，∴函数f（x）在[1，+∞）上为减函数

∴函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，没有最小值，f（x）_最大值=f（1）=a；

若a＞0，令f'（x）=0得x=

1

a

当0＜a＜1时，

1

a

＞1，当x∈（1，

1

a

）时f'（x）＜0，函数f（x）在（1，

1

a

）上为减函数

当x∈（

1

a

，+∞）时f'（x）＞0∴函数f（x）在（

1

a

，+∞）上为增函数

∴当x=

1

a

时，函数f（x）有最小值，f（x）最小值=f（

1

a

）=1-ln

1

a

当a≥1时，

1

a

≤1在[1，+∞）恒有f'（x）≥0

∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=a．

综上得：当a≤0时，函数f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）_最大值=a；

当0＜a＜1时，函数f（x）有最小值，f（x）最小值=1-ln

1

a

，没有最大值；

当a≥1时，函数f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=a，没有最大值．