问题 解答题

已知函数f(x)=ax3-cx,x∈[-1,1].

(I)若a=4,c=3,求证:对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1;

(II)若对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1,求证:|a|≤4.

答案

证明:(I)由a=4,c=3,得f(x)=4x3-3x,

于是f′(x)=12x2-3,

令f′(x)=0,可得x=±

1
2

∴当-1<x<-

1
2
1
2
<x<1,时f′(x)>0,

当-

1
2
<x<
1
2
时,f′(x)<0,

∴函数f(x)的增区间为(-1,-

1
2
),(
1
2
,1),减区间(-
1
2
1
2
),

又f(-1)=-1,f(-

1
2
)=1,f(1)=1,f(
1
2
)=-1,

故对任意x∈[-1,1],恒有-1≤f(x)≤1,

即对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1.(7分)

(II)证明:由f(x)=ax3-cx可得,

f(1)=a-c,f(

1
2
)=
a
8
-
c
2

因此f(1)-2f(

1
2
)=
3a
4

由|

3a
4
|=|f(1)-2f(
1
2
)|≤|f(1)|+2|f(
1
2
)|

又对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1,

∴|

3a
4
|≤3,可得|a|≤4.(14分)

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