已知函数f(x)=ax3-cx,x∈[-1,1].
(I)若a=4,c=3,求证:对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1;
(II)若对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1,求证:|a|≤4.
证明:(I)由a=4,c=3,得f(x)=4x3-3x,
于是f′(x)=12x2-3,
令f′(x)=0,可得x=±
,1 2
∴当-1<x<-
或1 2
<x<1,时f′(x)>0,1 2
当-
<x<1 2
时,f′(x)<0,1 2
∴函数f(x)的增区间为(-1,-
),(1 2
,1),减区间(-1 2
,1 2
),1 2
又f(-1)=-1,f(-
)=1,f(1)=1,f(1 2
)=-1,1 2
故对任意x∈[-1,1],恒有-1≤f(x)≤1,
即对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1.(7分)
(II)证明:由f(x)=ax3-cx可得,
f(1)=a-c,f(
)=1 2
-a 8
,c 2
因此f(1)-2f(
)=1 2
,3a 4
由|
|=|f(1)-2f(3a 4
)|≤|f(1)|+2|f(1 2
)|1 2
又对任意x∈[-1,1],恒有|f(x)|≤1,
∴|
|≤3,可得|a|≤4.(14分)3a 4