问题
解答题
已知函数f（x）=ax3-cx，x∈[-1，1]．
（I）若a=4，c=3，求证：对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1；
（II）若对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，求证：|a|≤4．
答案
证明：（I）由a=4，c=3，得f（x）=4x3-3x，
于是f′（x）=12x2-3，
令f′（x）=0，可得x=±
，1 2
∴当-1＜x＜-
或1 2
＜x＜1，时f′（x）＞0，1 2
当-
＜x＜1 2
时，f′（x）＜0，1 2
∴函数f（x）的增区间为（-1，-
），（1 2
，1），减区间（-1 2
，1 2
），1 2
又f（-1）=-1，f（-
）=1，f（1）=1，f（1 2
）=-1，1 2
故对任意x∈[-1，1]，恒有-1≤f（x）≤1，
即对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1．（7分）
（II）证明：由f（x）=ax3-cx可得，
f（1）=a-c，f（
）=1 2
-a 8
，c 2
因此f（1）-2f（
）=1 2
，3a 4
由|
|=|f（1）-2f（3a 4
）|≤|f（1）|+2|f（1 2
）|1 2
又对任意x∈[-1，1]，恒有|f（x）|≤1，
∴|
|≤3，可得|a|≤4．（14分）3a 4