（1）证明：（1）令h（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，则h′（x）=

1- 1+x+ 1 4 x2 1+x

1+x

＜0

∴h（x）在（0，+∞）上单调递减，即h（x）＜h（0）=0

∴ln（1+x）-

x

1+x

＜0

∴ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．

（2）求导函数，可得f′（x）=

x[x-(a2-2a)]

(x+1)(x+a)2

，令f′（x）=0，可得x=0或x=a²-2a，

∵函数f（x）=ln（1+x）-

ax

a+x

在（0，+∞）上单调递增

∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立

∴a²-2a≤0

∵f（x）在（0，+∞）上有意义

∴a≥0

∴0≤a≤2；

（3）关于x的不等式

x

1+bx

+

1

ex

≥1在[0，+∞）上恒成立，等价于

x

1+bx

≥1-

1

ex

在[0，+∞）上恒成立，

∵1-

1

ex

≥0，∴b≥0

当x＞0时，b≤1+

1

ex-1

-

1

x

构造函数g（x）=1+

1

ex-1

-

1

x

，则g′(x)=-

ex

(ex-1)2

+

1

x2

由（1）知，ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．

以e^x代1+x，可得x＜

ex-1

ex

，

∵x＞0，∴-

ex

(ex-1)2

+

1

x2

＞0，

∴g′（x）＞0，

∴g（x）在（0，+∞）上单调增

当x＞0且x→0时，g（x）→1

∴b≤1

∴实数b的最大值为1