问题 解答题
已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,且椭圆上的点到两个焦点的距离和为2
2
.斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M(0,m).
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求m的取值范围;
(Ⅲ)试用m表示△MPQ的面积,并求面积的最大值.
答案

(Ⅰ)椭圆上的点到两个焦点的距离和为2

2
,即2a=2
2
,∴a=
2

椭圆

y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
2
2
,即e=
2
2

∵e=

c
a
,∴
c
a
=
2
2

∴c=1

又∵a2=b2+c2,∴b=1.

又斜率为k(k≠0)的直线l过椭圆的上焦点,即椭圆的焦点在Y轴上

∴椭圆方程为

y2
2
+x2=1.

(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx+1,由

y=kx+1
y2
2
+x2=1
可得(k2+2)x2+2kx-1=0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则△=8k2+8>0

x1+x2=

-2k
k2+2
x1x2=-
1
k2+2

y1+y2=k(x1+x2)+2=

4
k2+2

设线段PQ中点为N,则点N的坐标为(

-k
k2+2
2
k2+2
),

∵M(0,m),∴直线MN的斜率kMN=

m-
2
k2+2
k
k2+2

∵直线MN为PQ的垂直平分线,∴kMN•k=-1,

可得

m-
2
k2+2
k
k2+2
•k=-1.即m=
1
k2+2

又k≠0,∴k2+2>2,

0<

1
k2+2
1
2
,即0<m<
1
2

(Ⅲ)设椭圆上焦点为F,

∵y轴把△PQM分成了△PMF和△QMF,

S△MPQ=S△PMF +S△QMF =

1
2
|FM||x1|+
1
2
|FM||x2|=
1
2
|FM|(|x1|+|x2|)

∵P,Q在y轴两侧,∴|x1|+|x2|=||(x1-x2

S△MPQ=

1
2
•|FM|•|x1-x2|,

|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2
=
8(k2+1)
(k2+2)2

m=

1
k2+2
,可得k2+2=
1
m

|x1-x2|=

8(
1
m
-1)
1
m2
=
8m(1-m)

又∵|FM|=1-m,∴S△MPQ=

1
2
(1-m)
8m(1-m)
2m(1-m)3

∴△MPQ的面积为

2
m(1-m)3
0<m<
1
2
).

设f(m)=m(1-m)3,则f'(m)=(1-m)2(1-4m).

可知f(m)在区间(0,

1
4
]单调递增,在区间(
1
4
1
2
)
单调递减.

∴f(m)=m(1-m)3有最大值f(

1
4
)=
27
256
.此时∴△MPQ的面积为
2
×
27
256
=
3
6
16

∴△MPQ的面积有最大值

3
6
16

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