问题
解答题
某公司为了实现2013年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案；从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过销售利润的25%．现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=
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答案
由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%…（2分）
对于y=0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5，不满足公司的要求；…（4分）
对于y=1.003x，易知满足①，∵1.003600≈6，故当x＞600时，不满足公司的要求；…（6分）
对于y=
lnx+1，易知满足①，当x∈[10，1000]时时，y≤1 2
ln1000+1…（7分）1 2
下面证明
ln1000+1＜5．1 2
∵e8≈2981，
∴
ln1000+1-5=1 2
ln1000-4=1 2
（ln1000-8）=1 2
（ln1000-ln2981）＜0，满足②…（8分）1 2
再证明
lnx+1≤x•25%，即2lnx+4-x≤0，…（9分）1 2
设F（x）=2lnx+4-x，则F′（x）=
-1=2 x
＜0，x∈[10，1000]…（10分）2-x x
∴F（x）在[10，1000]上为减函数，F（x）max=F（10）=2ln10+4-10=2ln10-6=2（ln10-3）＜0，满足③…（12分）
综上，奖励模型y=
lnx+1能完全符合公司的要求…（13分）1 2