问题 解答题
已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2+2a)x
,a∈R.
(1)当a=-2时,求f(x)在闭区间[-1,1]上的最大值与最小值;
(2)若线段AB:y=2x+3(0≤x≤2)与导函数y=f'(x)的图象只有一个交点,且交点在线段AB的内部,试求a的取值范围.
答案

(1)当a=-2时,f(x)=

1
3
x3+2x2.(1分)

求导得f'(x)=x2+4x=x(x+4).(2分).

令f'(x)=0,解得:x=-4或x=0.(3分)

列表如下:(6分)

x-1(-1,0)0(0,1)1
f'(x)-0+
f(x)
5
3
0
7
3
所以,f(x)在闭区间[-1,1]上的最大值是
7
3
,最小值是0.(7分)

(2)y=f'(x)=x2-2ax+a2+2a.(8分)

联立方程组

y=x2-2ax+a2+2a
y=2x+3
(9分)

得x2-2(a+1)x+a2+2a-3=0.(10分)

设g(x)=x2-2(a+1)x+a2+2a-3,则方程g(x)=0在区间(0,2)内只有一根,

相当于g(0)•g(2)<0,即(a2+2a-3)•(a2-2a-3)<0,(12分)

解得-3<a<-1或1<a<3.(14分)

单项选择题 A3/A4型题
单项选择题