问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）当a=-2时，求f（x）在闭区间[-1，1]上的最大值与最小值； （2）若线段AB：y=2x+3（0≤x≤2）与导函数y=f'（x）的图象只有一个交点，且交点在线段AB的内部，试求a的取值范围． |
答案
（1）当a=-2时，f(x)=
x3+2x2．（1分）1 3
求导得f'（x）=x2+4x=x（x+4）．（2分）．
令f'（x）=0，解得：x=-4或x=0．（3分）
列表如下：（6分）
| x | -1 | （-1，0） | 0 | （0，1） | 1 | ||||
| f'（x） | - | 0 | + | ||||||
| f（x） |
| ↘ | 0 | ↗ |
|
| 7 |
| 3 |
（2）y=f'（x）=x2-2ax+a2+2a．（8分）
联立方程组
（9分）y=x2-2ax+a2+2a y=2x+3
得x2-2（a+1）x+a2+2a-3=0．（10分）
设g（x）=x2-2（a+1）x+a2+2a-3，则方程g（x）=0在区间（0，2）内只有一根，
相当于g（0）•g（2）＜0，即（a2+2a-3）•（a2-2a-3）＜0，（12分）
解得-3＜a＜-1或1＜a＜3．（14分）