（1）函数定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞），∵f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，

由f'（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0，由f'（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0．

则递增区间是（-2，-1），（0，+∞），递减区间是（-∞，-2），（-1，0）．------------（4分）

（2）由f′(x)=

2x(x+2)

x+1

=0，得x=0或x=-2

由（1）知，f（x）在[

1

e

-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增-------------（6分）

又f(

1

e

-1)=

1

e2

+2，f(e-1)=e2-2，且e2-2＞

1

e2

+2

∴x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=e²-2，

故m＞e²-2时，不等式f（x）＜m恒成立-------------------------（9分）

（3）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0

记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²，则g′(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

由g'（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g'（x）＜0，得-1＜x＜1．

∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增  （11分）

为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一个实根，

于是有{

g(0)≥0， g(1)＜0， g(2)≥0.

解得2-2ln2＜a≤3-2ln3--------（15分）