（1）由于f（x）=e^xsinx．所以

f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=ex(sinx+cosx)=

2

exsin(x+

π

4

)．

当x+

π

4

∈(2kπ，2kπ+π)，即x∈(2kπ-

π

4

，2kπ+

3

4

π)时，f′（x）＞0；

当x+

π

4

∈(2kπ+π，2kπ+2π)，即x∈(2kπ+

3

4

π，2kπ+

7

4

π)时，f′（x）＜0．

所以f（x）的单调递增区间为(2kπ-

π

4

，2kπ+

3

4

π)（k∈Z），

单调递减区间为(2kπ+

3

4

π，2kπ+

7

4

π)（k∈Z）．

（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，要使f（x）≥kx总成立，只需在x∈[0，

π

2

]时g（x）_min≥0．

对g（x）求导得g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，

令h（x）=e^x（sinx+cosx），则h′（x）=2e^xcosx＞0，（x∈(0，

π

2

)）

所以h（x）在在[0，

π

2

]上为增函数，所以h(x)∈[1，e

π

2

]．

对k分类讨论：

①当k≤1时，g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在[0，

π

2

]上为增函数，所以g（x）_min=g（0）=0，

即g（x）≥0恒成立；

②当1＜k＜e

π

2

时，g′（x）=0在上有实根x₀，因为h（x）在(0，

π

2

)上为增函数，

所以当x∈（0，x₀）时，g′（x）＜0，所以g（x₀）＜g（0）=0，不符合题意；

③当k≥e

π

2

时，g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在(0，

π

2

)上为减函数，

则g（x）＜g（0）=0，不符合题意．

综合①②③可得，所求的实数k的取值范围是（-∞，1]．

（3）因为F（x）=f（x）+e^xcosx=e^x（sinx+cosx），所以F′（x）=2e^xcosx，

设切点坐标为(x0，ex0(sinx0+cosx0))，则斜率为f′(x0)=2ex0cosx0，

切线方程为y-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(x-x0)，

将M(

π-1

2

，0)的坐标代入切线方程，得

-ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(

π-1

2

-x0)

-tanx0-1=-2(x0-

π-1

2

)，即tanx0=2(x0-

π

2

)，

令y₁=tanx，y2=2(x-

π

2

)，则这两个函数的图象均关于点(

π

2

，0)对称，

它们交点的横坐标也关于

π

2

对称成对出现，

方程tanx=2(x-

π

2

)x∈[-

2011π

2

，

2013π

2

]的根，

即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{x_n}的项也关于

π

2

对称成对出现，

在[-

2011π

2

，

2013π

2

]内共构成1006对，每对的和为π，

因此数列{x_n}的所有项的和S=1006π．