已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=ax+2lnx，（a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在负实数a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．
（3）对x∈D如果函数F（x）的图象在函数G（x）的图象的下方，则称函数F（x）在D上被函数G（x）覆盖．求证：若a=1时，函数f（x）在区间x∈（1，+∞）上被函数g（x）=x3覆盖．
（1）当x∈（-∞，0），则-x＞0，由已知得，
f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x），
∴f（x）=ax-2ln（-x），
∴f(x)
；ax+2lnx (x＞0) ax-2ln(-x) (x＜0)
（2）假设存在a＜0，满足题意，∵f（x）=ax-2ln（-x），x∈[-∞，0）
∴f′（x）=a+
=2 x
，x∈[-∞，0），a(x+
)2 a x
令f′（x）=0，x=-
，2 a
当-
＞-e，即a＜2 a
时，f（x）在（-e，-2 e
）是减函数，在（-2 a
，0）为增函数，2 a
∴f（x）min=f（-
）=4，解得a=-2e，2 a
当-
≤-e，即0＞a≥2 a
时，f（x）在（-e，0）上增函数，2 a
∴f（x）min=f（-e）=4，解得a=-
＜-6 e
矛盾；2 e
综上所诉，存在a=-2e满足题意．
（3）证明：由题意知，只需证x3＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，
令h（x）=x3-x-2lnx（x＞1），
∴h′（x）=3x2-1-
=2 x
，(x-1)(3x2+3x+2) x
∵x＞1，∴x-1＞0，3x2+3x+2＞0，
∴h′（x）＞0，对x∈（1，+∞）恒成立，
∴x＞1时，h（x）＞h（1）=0
∴h（x）＞0⇔x3＞x+2lnx对x∈（1，+∞）恒成立，即证；