解（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

1

2

x2+lnx，f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

．

对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．

∴fmax(x)=f(e)=1+

e2

2

，fmin(x)=f( 1 )=

1

2

（Ⅱ）令g(x)=f(x)-2ax=(a-

1

2

)x2-2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．

在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．

∵g′(x)=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(2a-1)x2-2ax+1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

．

①若a＞

1

2

，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，x2=

1

2a-1

．

当x₂＞x₁=1，即

1

2

＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0．

此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；

当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；

②若a≤

1

2

，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．

从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数

要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)=-a-

1

2

≤0⇒a≥-

1

2

．

由此求得a的范围是[-

1

2

，

1

2

]．

综合①②可知，当a∈[-

1

2

，

1

2

]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．