问题
解答题
已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+mx2-nx（m，n为实数）．
（1）若x=1是函数y=g（x）的一个极值点，求m与n的关系式；
（2）在（1）的条件下，求函数g（x）的单调递增区间；
（3）若关于x的不等式2f（x）≤g'（x）+1+n的解集为P，且（0，+∞）⊆P，求实数m的取值范围．
答案
（1）g'（x）=3x2+2mx-n，
由题意得
，∴n=2m+3（m≠-3）．g′(1)=0 4m2+12n＞0
（2）由（1）知：g'（x）=3x2+2mx-（2m+3）=（x-1）[3x+（2m+3）]，
令g'（x）=0，得x1=1，x2=-1-
(m≠-3)2m 3
①当1＞-1-
，即m＞-3时，由g'（x）＞0得x＜-1-2m 3
或x＞1，2m 3
∴g（x）的单调递增区间是(-∞，-1-
)，(1，+∞)； 2m 3
②当1＜-1-
，即m＜-3时，由g'（x）＞0得x＜1或x＞-1-2m 3
，2m 3
∴g（x）的单调递增区间是(-∞，1)，(-1-
，+∞)．2m 3
（3）由（0，+∞）⊆P得2f（x）≤g'（x）+1+n在x∈（0，+∞）上恒成立，
即：2xlnx≤3x2+2mx+1在x∈（0，+∞）上恒成立，
可得m≥lnx-
x-3 2
在x∈（0，+∞）上恒成立，1 2x
设h(x)=lnx-
x-3 2
，1 2x
则h′(x)=
-1 x
+3 2
=-1 2x2
，(x-1)(3x+1) 2x2
令h'（x）=0，得x=1，x=-
（舍），1 3
∵当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2，
∴m≥-2，即m的取值范围是[-2，+∞）