问题
解答题
在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知|
（Ⅰ）用
（Ⅱ）过R作RH⊥AB，垂足为H，若|
|
答案
（I）由
=OA
，点P在边OA上且|a
|：|OP
|=1：2，PA
可得
=OP
（1 2
-a
），OP
∴
=OP 1 3
．同理可得a
=OQ 3 5
．（2分）b
设
=λAR
，AQ
=μBR
(λ，μ∈R)，BP
则
=OR
+OA
=AR
+λOA
=AQ
+λ(a 3 5
-b
）=（1-λ）a
+a
λ3 5
，b
=OR
+OB
=BR
+μOB
=BP
+μ(b 1 3
-b）=a
μ1 3
+（1-μ）a
．（4分）b
∵向量
与a
不共线，b
∴
解得λ=1-λ=
μ1 3
λ=1-μ3 5
，μ=5 6 1 2
∴
=OR 1 6
+a 1 2
．（5分）b
（II）设
=γ，则| BH| |
|BA
=γBH
=γ（BA
-a
），b
∴
=RH
-BH
=BR
-(BH
-OR
)=γ（OB
-a
）-（b 1 6
+a 1 2
）+b
=(γ-b
)1 6
+（a
-γ)1 2
．（6分）b
∵
⊥RH
，BA
∴
•RH
=0，BA
即[(γ-
)1 6
+（a
-γ)1 2
]•（b
-a
）=0(γ-b
)1 6
2+（a
-γ)1 2
2+(b
-2γ)2 3
•a
=0（8分）b
又∵|
|=1，|a
|=2，b
•a
=|b
||a
|cosθ=2cosθ，b
∴(γ-
)+4(γ-1 6
)+(1 2
-2γ)(2cosθ)=02 3
∴γ=
×1 6
=13-8cosθ 5-4cosθ
(1 6
+2)．（10分）3 5-4cosθ
∵θ∈[
，π 3
]，2π 3
∴cosθ∈[-
，1 2
]，1 2
∴5-4cosθ∈[3，7]，
∴
(1 6
+2)≤γ≤3 7
(1 6
+2)，即3 3
≤γ≤17 42
．1 2
故
的取值范围是[| BH| | BA|
， 17 42
]．（12分）1 2