问题
解答题
| 已知函数f（x）=alnx+bx，且f（1）=-1，f′（1）=0， （1）求f（x）； （2）求f（x）的最大值； （3）若x＞0，y＞0，证明：lnx+lny≤
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答案
（1）由b=f（1）=-1，f′（1）=a+b=0，∴a=1，
∴f（x）=lnx-x为所求；
（2）∵x＞0，f′（x）=
-1=1 x
，当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：1-x x
| x | 0＜x＜1 | x=1 | x＞1 |
| f′（x） | + | 0 | - |
| f（x） | ↗ | 极大值 | ↘ |
（3）证明：由（2）得lnx≤x-1恒成立，
∴lnx+lny=
+lnxy 2
≤lnx+lny 2
+xy-1 2
=x-1+y-1 2
成立．xy+x+y-3 2