问题
解答题
| 已知对任意的x＞0恒有a1nx≤b（x-1）成立． （1）求正数a与b的关系； （2）若a=1，设f（x）=m
（3）证明：1n（n!）＞2n-4
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答案
（1）设f（x）=alnx-b（x-1），
易知f（1）=0，由已知f（x）≤0恒成立，
所以函数f（x）在x=1处取得最大值．f′(x)=
-b=a x
∴f'（1）=0，∴a=ba-bx x
又∵a＞0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意，
即关系式为a=b．（3分）
（2）∵a=1，∴b=1∴lnx≤m
+n≤x-1恒成立，x
令x=1，有0≤m+n≤0，∴m+n=0（5分）∴m
+m≤x-1，x
即(
-1)(x
+1-m)≥0对∀x＞0恒成立，∴须1-m=-1，即m=2∴函数f(x)=2(x
-1)（7分）x
（3）由（2）知：ln
≤1 k
-2=2 k
-2＜4 2 k
-2=4(4
+k k-1
-k
)-2（9分）k-1
∴ln
＜4[(1 n!
-n
)+(n-1
-n-1
)++(n-2
-1
)]-2n=40
-2nn
即lnn!＞2n-4
(n∈N，n≥2)（12分）n