问题
解答题
已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件（1≤x≤2），今年新增的年销量（单位：万件）与（2-x）2成正比，比例系数为4．
（1）写出今年商户甲的收益y（单位：万元）与今年的实际销售单价x间的函数关系式；
（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？说明理由．
答案
解（1）由题意知，今年的年销售量为1+4（x-2）2（万件）．
∵每销售一件，商户甲可获利（x-1）元，
∴今年商户甲的收益
y=[1+4（x-2）2]（x-1）
=4x3-20x2+33x-17，（1≤x≤2）．
（2）由（1）知
y=4x3-20x2+33x-17，1≤x≤2，
∴y′=12x2-40x+33=（2x-3）（6x-11）．
令y′=0，解得x=
，或x=3 2
．列表如下：11 6
| x | （1，
|
| （
|
| （
| ||||||||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||||||
| f（x） | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
| 3 |
| 2 |
∴f（x）在区间[1，2]上的最大值为1（万元）．
∵往年的收益为（2-1）×1=1（万元），
∴商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．