问题
解答题
已知函数f（x）=x-1ex的定义域是（0，+∞）．
（1）求函数f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）∀x∈（0，+∞），不等式xf（x）＞-x2+λx-1恒成立，求实数λ的取值范围．
答案
（1）f(x)=
，∴f′(x)=ex x
．ex(x-1) x2
当x∈（0，1）时，∴f（x）在（0，1]上递减；
当x∈（1，+∞）时，∴f（x）在[1，+∞）上递增．
∴当m≥1时，f（x）在[m，m+1]上递增，f(x)min=f(m)=
；em m
当0＜m＜1时，f（x）在[m，1]上递减，在[1，m+1]上递增，f（x）min=f（1）=e．
∴f(x)min=
．
，m≥1em m e，0＜m＜1
（2）∀x＞0，ex＞-x2+λx-1恒成立，即λ＜
+x+ex x
恒成立．1 x
由（1）可知，∀x＞0，
≥e，当且仅当x=1时取等号，ex x
又∀x＞0，x+
≥2，当且仅当x=1时取等号，1 x
∴当且仅当x=1时，有(
+x+ex x
)min=e+2．1 x
∴λ＜e+2．