问题
计算题
（18分）万有引力定律揭示了天体运动的规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球的质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球看作是半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。
a.若在北极上空h处称量，弹簧秤的读数为F1，求比值F1/F0的表达式（并就
的情形算出具体数值，（计算结果保留两位有效数字）
b.若在赤道地面处称量，弹簧秤的读数为F2，求比值F2/F0的表达式
（2）设想地球绕太阳公转的半径为r，太阳的半径为RS，地球的半径为R，三者均减小为现在的1.0%，太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？
答案
（1） 
；
（2）不变
题目分析：（1）设物体的质量m。
a．物体处于北极以及北极上方时，万有引力等于重力，
，
在北极上空h处
可得
当
时，
b.在赤道上弹簧秤的读数表示重力的大小，即
，可以求得
（2）地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力。设太阳的质量为MS，地球的质量为M，地球公转的周期为TE。
根据太阳的引力提供地球的向心力，
太阳的质量
，其中ρ为太阳的密度。
所以有
从上式可以看出当r、R、RS均变为现在的百分之一时，周期不变，即“设想地球”的一年与现实地球的1年相同。