已知函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）．（1）求f（x）的最

问题解答题

已知函数f（x）=e^x-x （e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）不等式f（x）＞ax的解集为P，若M={x|

≤x≤2}且M∩P≠∅，求实数a的取值范围；（3）已知n∈N﹡，且S_n=∫_tⁿ[f（x）+x]dx（t为常数，t≥0），是否存在等比数列{b_n}，使得b₁+b₂+…b_n=S_n；若存在，请求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

答案

（1）f′（x）=e^x-1 　　　　　　　　　　　　　　

由f′（x）=0得x=0

当x＞0时f′（x）＞0．当x＜0时，f′（x）＜0

∴f（x）在（0，+∞）上增，在（-∞，0）上减

∴f（x）_min=f（0）=1

（2）∵M∩P≠∅，∴f(x)＞ax在区间[

，2]有解

由f（x）＞ax得e^x-x＞ax

即a＜

-1在[

，2]上有解　　　　　　　

令 g(x)=

-1， x∈[

，2]

∴g′(x)=

(x-1)ex

∴g(x)在[

，1]上减，在[1，2]上增

又g(

)=2

-1，g(2)=

-1，且g(2)＞g(

)

∴g(x)max=g(2)=

-1

∴a＜

-1 　　　　　　　　　　　　　

（3）设存在等比数列{b_n}，b₁+b₂+…+b_n=S_n

∵S_n=∫_tⁿ[f（x）+x]dx=eⁿ-e^t

∴b₁=e-e^t 　　　　　　　　　　　

n≥2时b_n=S_n-S_n-1=（e-1）e^n-1

当t=0时b_n=（e-1）e^n-1，数{b_n}为等比数列

t≠0时

≠

，则数{b_n}不是等比数列

∴当t=0时，存在满足条件的数b_n=（e-1）e^n-1满足题意