问题 填空题

f(x)=ax3-3x(a>0)对于x∈[0,1]总有f(x)≥-1成立,则a的范围为______.

答案

∵x∈[0,1]总有f(x)≥-1成立,

即ax3-3x+1≥0,x∈[0,1]恒成立

当x=0时,要使不等式恒成立则有a∈(0,+∞)

当x∈(0,1]时,ax3-3x+1≥0恒成立,

即有:a≥

3x-1
x3
在x∈(0,1]上恒成立,令g(x)=
3x-1
x3
,必须且只需a≥[g(x)]max

g′(x)=

3(1-2x)
x4
>0得,x<
1
2

所以函数g(x)在(0,

1
2
]上是增函数,在[
1
2
,1]上是减函数,所以[g(x)]max=g(
1
2
)
=4,即a≥4

综合以上可得:a≥4.

答案为:[4,+∞).

填空题
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