问题
填空题
f(x)=ax3-3x(a>0)对于x∈[0,1]总有f(x)≥-1成立,则a的范围为______.
答案
∵x∈[0,1]总有f(x)≥-1成立,
即ax3-3x+1≥0,x∈[0,1]恒成立
当x=0时,要使不等式恒成立则有a∈(0,+∞)
当x∈(0,1]时,ax3-3x+1≥0恒成立,
即有:a≥
在x∈(0,1]上恒成立,令g(x)=3x-1 x3
,必须且只需a≥[g(x)]max3x-1 x3
由g′(x)=
>0得,x<3(1-2x) x4 1 2
所以函数g(x)在(0,
]上是增函数,在[1 2
,1]上是减函数,所以[g(x)]max=g(1 2
)=4,即a≥41 2
综合以上可得:a≥4.
答案为:[4,+∞).