（1）由题意，

OA

=(

3

2

x2+1)•

OB

+[ln(2+3x)-y]•

OC

∵A、B、C三点共线，

∴

3

2

x2+1+ln(2+3x)-y=1

∴y=

3

2

x2+ln(2+3x)

（2）∵x∈[

1

6

，

1

3

]，a＞ln

1

3

，则a＞lnx

又由（1）得，f/(x)=

3

2+3x

+3x，x∈[

1

6

，

1

3

]，则f/(x)-3x=

3

2+3x

＞0

∴要证原不等式成立，只须证：a＞lnx+ln

3

2+3x

（*）

设h(x)=lnx+ln

3

2+3x

=ln

3x

2+3x

．

∵h/(x)=

2+3x

3x

•

3(2+3x)-3x•3

(2+3x)2

=

2

x(2+3x)

＞0

∴h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]上均单调递增，则h（x）有最大值h(

1

3

)=ln

1

3

，

又因为a＞ln

1

3

，所以a＞h（x）在x∈[

1

6

，

1

3

]恒成立．

∴不等式（*）成立，即原不等式成立．

（3）方程f（x）=2x+b即

3

2

x2-2x+ln(2+3x)=b，令ϕ(x)=

3

2

x2-2x+ln(2+3x)，

∴ϕ/(x)=

3

2+3x

+3x-2=

9x2-1

2+3x

=

(3x+1)(3x-1)

2+3x

当x∈(0，

1

3

)时，ϕ′（x）＜0，ϕ（x）单调递减，

当x∈(

1

3

，1)时，ϕ′（x）＞0，ϕ（x）单调递增，

∴ϕ（x）有极小值为ϕ(

1

3

)=ln3-

1

2

即在[0，1]上的最小值．

又ϕ（0）=ln2，ϕ(1)=ln5-

1

2

，又ln5-

1

2

-ln2=ln

5

2 e

=

1

2

ln

25

4e

＞

1

2

ln

25

4×3

＞0

∴ln5-

1

2

＞ln2．

∴要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使ln3-

1

2

＜b≤ln2．