（1）若a＜0，则对一切x＞0，函数f（x）=e^ax-x＜1，这与题设矛盾，

∵a≠0，∴a＞0

∵f′（x）=ae^ax-1，令f′（x）=0，可得x=

1

a

ln

1

a

令f′（x）＜0，可得x＜

1

a

ln

1

a

，函数单调减；令f′（x）＞0，可得x＞

1

a

ln

1

a

，函数单调增，

∴x=

1

a

ln

1

a

时，f（x）取最小值f(

1

a

ln

1

a

)=

1

a

-

1

a

ln

1

a

∴对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，则

1

a

-

1

a

ln

1

a

≥1①

令g（t）=t-tlnt，则g′（t）=-lnt

当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减

∴t=1时，g（t）取最大值g（1）=1

∴当且仅当

1

a

=1，即a=1时，①成立

综上所述，a的取值集合为{1}；

（2）由题意知，k=

eax2-eax1

x2-x1

-1

令φ（x）=f′（x）-k=aeax-

eax2-eax1

x2-x1

，则φ(x1)=-

eax1

x2-x1

[ea(x2-x1)-a(x2-x1)-1]

φ(x2)=

eax2

x2-x1

[ea(x1-x2)-a(x1-x2)-1]

令F（t）=e^t-t-1，则F′（t）=e^t-1

当t＜0时，F′（t）＜0，函数单调减；当t＞0时，F′（t）＞0，函数单调增；

∴t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e^t-t-1＞0

∴ea(x2-x1)-a(x2-x1)-1＞0，ea(x1-x2)-a(x1-x2)-1＞0

∵

eax1

x2-x1

＞0，

eax2

x2-x1

＞0

∴φ（x₁）＜0，φ（x₂）＞0

∴存在c∈（x₁，x₂），φ（c）=0

∵φ′（x）单调递增，故这样的c是唯一的，且c=

1

a

ln

eax2-eax1

a(x2-x1)

当且仅当x∈（

1

a

ln

eax2-eax1

a(x2-x1)

，x₂）时，f′（x）＞k

综上所述，存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）＞k成立，且x₀的取值范围为（

1

a

ln

eax2-eax1

a(x2-x1)

，x₂）