问题
解答题
将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？
答案
设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a-2x，
由于a-2x也要＞0，则x∈（0，
），a 2
且方盒是以边长为a-2x的正方形作底面，高为x的正方体，
其体积为V=x(a-2x)2，(x∈(0，
))a 2
V'=（a-2x）（a-6x），令V'=0，则x1=
，x2=a 2
，a 6
由x1=
∉(0，a 2
)，且对于x∈(0，a 2
)，V′＞0，x∈(a 6
，a 6
)，V′＜0，a 2
∴函数V在点x=
处取得极大值，由于问题的最大值存在，a 6
∴V（
）=a 6
即为容积的最大值，此时小正方形的边长为2a3 27
．a 6