问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，f′（1）=0，曲线y=f（x）在原点处的切线到直线y=2x+3的角为135°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意实数α和β，不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立，求m的最小值．
答案
（1）由题意有f（0）=c=0，f'（x）=3x2+2ax+b且f′（1）=3+2a+b=0
又曲线y=f（x）在原点处的切线的斜率k=f′（0）=b，而直线y=2x+3到此切线所成的角为135°，
所以
=-1②（4分）2-b 1+2b
联立①②解得a=0，b=-3
∴f（x）=x3-3x…．（6分）
（2）|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m恒成立等价于|f（x）max-f（x）min|≤m（8分）
由于2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，故只需求出f（x）=x3-3x在[-2，2]上的最值，而f′（x）=3x2-3，
由f′（x）=0得x=±1
列表如下：
| x | -2 | （-2，-1） | -1 | （-1，1） | 1 | （1，2） | 2 |
| f′（x） | + | - | + | ||||
| f（x） | -2 | 2 | -2 | 2 |
∴|f（x）max-f（x）min|=4≤m
∴m的最小值为4（12分）