f（x）的定义域为x＞0

（I）将a=1代入f（x）得f（x）=）=x²-3x+lnx

所以f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

令f′（x）＞0得0＜x＜

1

2

或x＞1

所以函数的单调增区间(0，

1

2

)，(1，+∞)

（II）f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

令f′（x）=0得x=

1

2

(舍)或x=a

当a≤1时，在区间[1，e]上，f′（x）＞0

f（x）在区间[1，e]上的单调递增

所以[f（x）]_min=f（1）=-2a；

当1＜a＜e时，f（x）在[1，a]单调递减，在[a，e]上单调递增

所以[f（x）]_min=f（a）=-a²-a+alna；

当a≥e时，f（x）在[1，e]上单调递减

所以[f（x）]_min=f（e）=e²-2ae-e+a．

（III）令x²-（a+2）x+alnx≥0在[

1

e

，e]上有解．

即x²-2x≥a（x-lnx），由于x-lnx在[

1

e

，e]上为正数

∴问题转化为a≤

x2-2x

x-lnx

在[

1

e

，e]上有解

令h（x）=

x2-2x

x-lnx

，下求此函数在[

1

e

，e]的最大值

由于当x＜2时，h（x）为负，下研究h（x）在（2，e）上的单调性，

由于h′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

＞0成立，所以h（x）=

x2-2x

x-lnx

在（2，e）上是增函数，又h(e)=

e2-2e

e-1

＞0

所以h(x)max=

e2-2e

e-1

故实数a的取值范围为a≤

e2-2e

e-1