问题
解答题
| 已知函数f（x）=x2+lnx． （1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值； （2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=
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答案
（1）∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+
，1 x
∵x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=
x2-1 2
x3+lnx，2 3
则F′（x）=x-2x2+
=1 x
=x2-2x3+1 x
=x2-x3-x3+1 x
，(1-x)(2x2+x+1) x
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴F（x）＜F（1）=
-1 2
=-2 3
＜0，即f（x）＜g（x），1 6
∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．